Matematiksel İspat Teknikleri

Özellikle öğrencilerin, gereksiz gördüğü ya da zor bulduğu için es geçtiği ispatlar aslında matematiğin en gerekli, çoğu zaman zevkli ve matematikçileri en çok uğraştıran kısmıdır. Ne de olsa ispatlar, matematiksel ifadelerin geçerliliğinin teminatıdır. Bugün cevabı bulunmamış pek çok matematik sorusu ispatlanması istenen ifadelerden ibarettir. İspat yapmanın çok çeşitli yolları vardır. Bu nedenle sık sorulan bir soru, bir teoremi ispatlamak için hangi tekniği seçmek gerektiğini nasıl bileceğimizdir? İşte bu, ancak pek çok ispatı incelemek ve çalışmakla kendinden gelişecek bir özelliktir. Kimi zamansa şanstır. Ama unutmayın şans ancak hazırlıklı kafalara güler! Hazırlıklı olmak için de, tekniklerden haberdar olmak gereklidir.

Doğrudan İspat Yöntemi

Olmayana Ergi Yöntemi

Tümevarım Yöntemi

Konstrüktif İspat Yöntemi

Kontrapozitif Teknik

Doğrudan İspat Yöntemi

En temel ve basit ispat şeklidir. Doğru olduğu gösterilmek istenen ifade, direk olarak, doğruluğu kanıtlanmış başka ifadelerle veya aksiyomlarla türetilir. Türetmek için, bu ifadeleri mantık kuralları çerçevesinde doğrudan birleştirme yapabilirsiniz. Bu birleştirmeyi örneklendirmek için felsefede oldukça sık kullanılan bir örneği verebiliriz: Tüm insanlar ölümlüdür. Sokrat bir insandır. Verilen bu iki ifadeyi birleştirerek şu çıkarımı elde ederiz: Sokrat bir ölümlüdür. Matematikte "iki çift sayının toplamı çifttir"; "iki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır."şeklindeki ifadeleri doğrudan tanım kullanarak ispatlayabilirsiniz. Sadece tanımlar değil önceden ispatladığınız teoremler de ispat basamaklarında yer alabilir. olduğunu gösterin.

Doğrudan ispat:

Bu, trigonometri kuramı kapsamında kalan bir konu. Kuramın bir önceki basamaklarında ispatlanmış olan eşitliğini kullanarak doğrudan ispat yapabiliriz: ispat tamamlanmıştır.

Olmayana Ergi Yöntemi

Bu yöntemde doğruluğunu göstermeyi planladığınız ifadenin yanlış olduğunu kabul ederek işe başlıyorsunuz. Yanlışlığı ispatlama yolunda bir çelişkiye varıyorsunuz. Sonuç olarak başta yanlış olduğunu kabul ettiğiniz ifadenin aslında doğru bir ifade olduğunu ispatlamış oluyorsunuz. Bu yöntemle ispatlanan çok ünlü teoremler var.

Teorem: Sonsuz tane asal sayı vardır.

İspat (Öklid):

Varsayalım ki sonlu tane asal sayı olsun: 2,3,5,7,11,.,P Şimdi bu asal sayıların hepsini çarpıp 1 ekleyelim ve yeni bir sayı tanımlayalım: K = 2.3.5.7.11.P + 1 Bu sayı tüm asal sayılardan büyüktür, çünkü hepsini birbiriyle çarptık ve bu da yetmezmiş gibi bir de ekleme yaptık. Öyleyse K bir asal sayı değildir. Bu durumda K nın kendinden ve 1'den farklı bir asal çarpanı vardır çünkü bileşik (asal olmayan) sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ama K sayısını, hangi asal sayıya bölersek bölelim 1 kalanını elde ederiz ki bu da tam bölünmediğinin yani asal bir çarpanının olmadığının bir göstergesidir. Öyleyse K asal bir sayıdır . Daha önce bunun tam tersi olduğunu göstermiştik. Sonuç olarak bir çelişkiye vardık. Yani sonlu tane asal sayı vardır ifadesi yanlıştır. Sonsuz tane asal sayı vardır.

Teorem2 : irasyoneldir.

İspat (Pisagor ve Öklid):

Yine ifadenin tersini kabul etmekle işe başlıyoruz. Varsayalım ki rasyonel öyleyse tanım gereği , a/b şeklinde yazılabilir ve a ve b'nin ortak çarpanları olmadığını kabul edebiliriz. Burada a2 'nin 2b2 'ye eşit olması onun bir çift sayı olduğunu gösterir. Öyleyse a da bir çift sayıdır. Bu durumda çift sayı tanımından diyebiliriz. Şimdi yerine yerleştirelim: işte bu sonuç b2 'nin ve dolayısıyla b nin bir çift sayı olduğunu söylüyor. Başta ortak çarpanları olmadığını kabul ettiğimiz a ve b nin birer çift sayı olduğu sonucuna varıyoruz ki bu ikisinin de en az "2" çarpanını bünyelerinde barındırdığı anlamına gelir ve çelişkiye ulaşmış oluruz. Öyleyse başta kabul ettiğimiz ifade yanlıştır ve irrasyoneldir.

Tümevarım Yöntemi

Verilen bir ifadenin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir yöntemdir. Bu yönteme ifadenin önce 1 için (daha doğrusu, ifadenin doğruluğunun başladığı doğal sayı için) doğru olduğu gösterilir. Daha sonra n doğal sayısı için doğru olduğu farz edilir ve n+1 doğal sayısı için doğru olduğu gösterilir. Bu da herhangi bir doğal sayı için doğruysa sonraki için de doğru olacağını ispatladığından bütün doğal sayılar için geçerli bir ifade olduğu anlamına gelecektir. Bu yöntem genelde sonsuz sayıda domino taşlarının dizilmesine benzetilir. n. taşın devrilmesi bir sonraki yani n+1. taşın da devrilmesi anlamına geleceğinden taşların tamamı devrilecektir. Tabi ki yine n=1 için doğruluğunu söylemek lazım. Bunun için de ilk taşı devirmeniz yeterli olacaktır.

Teorem:

İspat1 (Tümevarım):

Önce ifadenin n=1 için doğru olduğunu göstermeliyiz: ki bu 1'den 1'e kadar olan sayıların toplamı demektir ve doğrudur.

Kabul:

ifadesi doğru olsun. Aynı ifadenin (n+1) için doğru olduğunu gösterelim yani Doğru olduğunu kabul ettiğimiz ifadenin her tarafına ( n +1) ekleyelim: n için doğru iken n +1 için de doğrudur. İspat tamamlanmıştır. İspat2 (Doğrudan): Johann Carl Friedrich Gauss 10 yaşında küçük bir çocukken (yıl 1787) matematik öğretmeni öğrencilerinden 1'den 100'e kadar olan sayıları toplamalarını istedi. Öğrenciler daha 20'ye kadar toplamadan Gauss hocasını yanına çağırdı, amacı sonucunun doğru olup olmadığını sormaktı. Öğretmen defterdeki işlemleri görünce normal üstü bir zekayla karşı karşıya olduğunu anladı: ispat tamamlanmıştır.

Konstrüktif İspat Yöntemi

Bu teknik, özellikle varoluş teoremlerinin ispatlanmasında kullanılır. Örneğin "her rasyonel sayı çiftinin arasında bir rasyonel sayı vardır" ifadesini ispatlarken iki rasyonel sayı alınır ve aralarında bulunduğu bahsedilen sayı, bu sayılar üzerinden inşaa edilir. Böylelikle gerçekten bir rasyonel sayının varolduğu ispatlanır: birbirinden farklı iki rasyonel sayı olsun.

İddia:

ifadesi verilen rasyonel sayılar arasında bir rasyonel sayılardır. (inşaa edilen sayı).İş, inşaa ettiğimiz bu sayının iki sayı arasında ve rasyonel bir sayı olduğunu göstermemize kalıyor. Sayılar birbirinden farklı olduğu ve rasyonel sayılarda bir sıralama sözkonusu oldunu bildiğimizden birini diğerinden küçük kabul edebiliriz: Son olarak inşaa ettiğimiz sayının, rasyonel olduğunu göstermeliyiz. Öyleyse sayı rasyoneldir. İspat tamamlanmıştır.

Kontrapozitif Teknik

P ise Q ifadesi, değil Q ise değil P ifadesine denktir: Bu ispat tekniğine teoremin bildirdiği sonucun, tersini doğru kabul ederek başlıyoruz. Sonuda ise hipotezin yanlış olduğu ifadesine ulaşıyoruz.

Teorem: n2 tek tamsayı ise, n de tek tam sayıdır.

İspat: Varsayalım ki n tek tamsayı olmasın, öyleyse n çift bir tamsayıdır. Göstermemiz gereken n2 'nin de tek olmadığı yani çift olduğu. n2 çiftse n=2s, s N şeklinde yazılabilir.

Bu durumda bu sayının karesi: Bu durumda ( 2s2 tam sayı olduğundan) n 2 bir çift sayıdır. İspat tamamlanmıştır.